Los errores comunes en el teorema de Bayes y cómo evitarlos.

 El teorema de Bayes es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad que nos permite actualizar nuestras creencias o probabilidades iniciales basadas en nueva evidencia o información observada. El teorema establece una relación entre las probabilidades condicionales, es decir, la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ha ocurrido un evento B

El teorema de Bayes se puede enunciar de la siguiente manera:

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Donde:

- P(A|B) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido el evento B.

- P(B|A) es la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ha ocurrido el evento A.

- P(A) es la probabilidad inicial de que ocurra el evento A.

- P(B) es la probabilidad de que ocurra el evento B.

El teorema de Bayes nos permite actualizar nuestra probabilidad inicial P(A) a la probabilidad posterior P(A|B) utilizando la información proporcionada por P(B|A) y P(B).

En resumen, el teorema de Bayes nos proporciona un método para ajustar nuestras creencias o probabilidades iniciales a medida que obtenemos nueva evidencia o información. Es ampliamente utilizado en estadística, machine learning, inteligencia artificial y otras áreas donde se requiere la inferencia probabilística.

Ejemplos.

Un automovilista hace recargar la batería de su vehículo y pide que le efectúen una carga lenta. Dicho automovilista admite que, a pesar de su pedido, es posible que le efectúen una carga rápida, asignándole a este hecho una probabilidad del 20%. Su experiencia le indica que si la carga es lenta, la batería dura más de un año con probabilidad 0.9. Si la carga es rápida, en cambio, esta probabilidad se reduce al 40%. Si la batería falla antes del año, ¿Cuál es la probabilidad que la carga haya sido rápida?

solucion.

Para calcular la probabilidad de que la carga haya sido rápida dado que la batería falla antes de un año, podemos utilizar el teorema de Bayes. Primero, establezcamos las probabilidades y la información dada:

P(Carga rápida) = 0.2 (probabilidad de que se realice una recarga rápida)

P(Carga lenta) = 0.8 (probabilidad de que se realice una recarga lenta)

P(Falla antes de un año | Carga lenta) = 0.9 (probabilidad de que la batería falle antes de un año dado que se realizó una recarga lenta)

P(Falla antes de un año | Carga rápida) = 0.4 (probabilidad de que la batería falle antes de un año dado que se realizó una recarga rápida)

Queremos calcular P(Carga rápida | Falla antes de un año), es decir, la probabilidad de que la carga haya sido rápida dado que la batería falla antes de un año.

Aplicando el teorema de Bayes, la fórmula se expresa de la siguiente manera:

P(Carga rápida | Falla antes de un año) = [P(Falla antes de un año | Carga rápida) * P(Carga rápida)] / P(Falla antes de un año)

Para calcular P(Falla antes de un año), debemos considerar los casos en los que la batería falla antes de un año, tanto con carga rápida como con carga lenta:

P(Falla antes de un año) = P(Falla antes de un año | Carga lenta) * P(Carga lenta) + P(Falla antes de un año | Carga rápida) * P(Carga rápida)

P(Falla antes de un año) = 0.9 * 0.8 + 0.4 * 0.2

Luego, sustituimos estos valores en la fórmula del teorema de Bayes:

P(Carga rápida | Falla antes de un año) = [0.4 * 0.2] / [0.9 * 0.8 + 0.4 * 0.2]

Realizando los cálculos:

P(Carga rápida | Falla antes de un año) = 0.08 / 0.76

Por lo tanto, la probabilidad de que la carga haya sido rápida dado que la batería falla antes de un año es de aproximadamente 0.1053 o 10.53%.

Ejercicio  

Para calcular la probabilidad de que la máquina seleccionada sea la que hay que calibrar, utilizaremos el teorema de Bayes. Primero, establezcamos las probabilidades y la información dada:

P(Defectuoso | Máquina normal) = 0.02 (probabilidad de que un artículo sea defectuoso en una máquina normal)

P(Defectuoso | Máquina a calibrar) = 0.05 (probabilidad de que un artículo sea defectuoso en la máquina a calibrar)

P(Máquina normal) = 4/5 (probabilidad de seleccionar una máquina normal, dado que hay 5 máquinas en total)

P(Máquina a calibrar) = 1/5 (probabilidad de seleccionar la máquina a calibrar, dado que hay 5 máquinas en total)

Queremos calcular P(Máquina a calibrar | 17° artículo defectuoso), es decir, la probabilidad de que la máquina seleccionada sea la que hay que calibrar, dado que el primer artículo defectuoso es el 17°.

Aplicando el teorema de Bayes, la fórmula se expresa de la siguiente manera:

P(Máquina a calibrar | 17° artículo defectuoso) = [P(17° artículo defectuoso | Máquina a calibrar) * P(Máquina a calibrar)] / P(17° artículo defectuoso)

Para calcular P(17° artículo defectuoso), debemos considerar los casos en los que el 17° artículo es defectuoso, tanto en una máquina normal como en la máquina a calibrar:

P(17° artículo defectuoso) = P(17° artículo defectuoso | Máquina normal) * P(Máquina normal) + P(17° artículo defectuoso | Máquina a calibrar) * P(Máquina a calibrar)

P(17° artículo defectuoso) = 0.02 * (4/5) + 0.05 * (1/5)

Luego, sustituimos estos valores en la fórmula del teorema de Bayes:

P(Máquina a calibrar | 17° artículo defectuoso) = [0.05 * (1/5)] / [0.02 * (4/5) + 0.05 * (1/5)]

Realizando los cálculos:

P(Máquina a calibrar | 17° artículo defectuoso) ≈ 0.0667

Por lo tanto, la probabilidad de que la máquina seleccionada sea la que hay que calibrar, dado que el primer artículo defectuoso es el 17°, es aproximadamente 0.0667 o 6.67%.

Ejercicio.

Para calcular la probabilidad de que el alunizaje haya sido satisfactorio dado que el sistema monitor indica que fue satisfactorio, utilizaremos el teorema de Bayes. Primero, establezcamos las probabilidades y la información dada:

P(Alunizaje satisfactorio) = 0.8 (probabilidad de un alunizaje satisfactorio)

P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje satisfactorio) = 0.9 (probabilidad de que el sistema monitor indique un alunizaje satisfactorio dado que el alunizaje es satisfactorio)

P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje no satisfactorio) = 0.9 (probabilidad de que el sistema monitor indique un alunizaje satisfactorio dado que el alunizaje no es satisfactorio)

Queremos calcular P(Alunizaje satisfactorio | Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio), es decir, la probabilidad de que el alunizaje haya sido satisfactorio dado que el sistema monitor indica que fue satisfactorio.

Aplicando el teorema de Bayes, la fórmula se expresa de la siguiente manera:

P(Alunizaje satisfactorio | Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = [P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje satisfactorio) * P(Alunizaje satisfactorio)] / P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio)

Para calcular P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio), debemos considerar los casos en los que el sistema monitor indique un alunizaje satisfactorio, tanto en un alunizaje satisfactorio como en un alunizaje no satisfactorio:

P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje satisfactorio) * P(Alunizaje satisfactorio) + P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje no satisfactorio) * P(Alunizaje no satisfactorio)

P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = 0.9 * 0.8 + 0.9 * 0.2

Luego, sustituimos estos valores en la fórmula del teorema de Bayes:

P(Alunizaje satisfactorio | Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = [0.9 * 0.8] / [0.9 * 0.8 + 0.9 * 0.2]

Realizando los cálculos:

P(Alunizaje satisfactorio | Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = 0.72 / 0.9

Por lo tanto, la probabilidad de que el alunizaje haya sido satisfactorio, dado que el sistema monitor indica que fue satisfactorio, es aproximadamente 0.8 o 80%.

Cómo solucionar elenfoque del cálculo de la probabilidad.

 

El cálculo de la probabilidad depende del enfoque utilizado y del tipo de evento en consideración. A continuación, te presentaré algunos métodos comunes para calcular la probabilidad en diferentes contextos:

1. Probabilidad clásica: Si tienes un experimento con un número finito de resultados igualmente probables, la probabilidad de un evento A se calcula como:

   P(A) = Número de casos favorables a A / Número de casos posibles

   Por ejemplo, si lanzas un dado justo de 6 caras, la probabilidad de obtener un 4 sería 1/6, ya que hay un caso favorable (obtener un 4) entre los seis posibles resultados.

2. Probabilidad frecuentista: En este enfoque, la probabilidad se calcula observando la frecuencia relativa de un evento en un gran número de experimentos repetidos. Por ejemplo, si lanzas una moneda muchas veces y obtienes cara en 500 ocasiones de 1000 lanzamientos, la probabilidad de obtener cara sería 500/1000, es decir, 0.5.

3. Probabilidad subjetiva: Este enfoque se basa en la creencia o el grado de confianza personal en que un evento ocurra. No sigue una fórmula precisa, sino que depende de la interpretación y el juicio subjetivo de cada persona.

Es importante destacar que estos son solo algunos ejemplos de enfoques para calcular la probabilidad y que existen otros métodos y conceptos más avanzados en la teoría de la probabilidad, como la probabilidad condicional, la probabilidad conjunta y la teoría de la probabilidad bayesiana.

El método de Laplace es un enfoque utilizado en la teoría clásica de la probabilidad para calcular la probabilidad de un evento cuando todos los resultados posibles son igualmente probables. Este método se basa en contar los casos favorables y los casos posibles y calcular la probabilidad como la razón entre ambos.

La fórmula general para calcular la probabilidad utilizando el método de Laplace es:

P(A) = Número de casos favorables a A / Número de casos posibles

Dentro del método de Laplace, se asume que todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir. Por lo tanto, para utilizar este método, es necesario que el espacio muestral (el conjunto de todos los posibles resultados) sea finito y equiprobable. 

Aquí tienes un ejemplo para ilustrar el método de Laplace:

Supongamos que tienes una bolsa con 10 bolas numeradas del 1 al 10 y deseas calcular la probabilidad de extraer una bola par. En este caso, los casos posibles son las 10 bolas en la bolsa y los casos favorables son las bolas pares, que son 2, 4, 6, 8 y 10. Por lo tanto, la probabilidad sería:

P(Bola par) = Número de bolas pares / Número total de bolas = 5/10 = 0.5

En este ejemplo, como todas las bolas son igualmente probables de ser extraídas, utilizamos el método de Laplace para calcular la probabilidad.

Ejercicio. 

Para calcular la probabilidad de que las tres monedas resulten cara al ser lanzadas, vamos a definir un espacio muestral apropiado y utilizar el método de Laplace.

Espacio muestral apropiado:

En este caso, vamos a considerar todas las posibles combinaciones de resultados al lanzar las tres monedas. Cada moneda tiene dos posibles resultados: cara (C) o cruz (X). Entonces, el espacio muestral apropiado sería:

{CCC, CCX, CXC, XCX, CXX, XCC, XXC, XXX}

Calculando la probabilidad usando el método de Laplace:

En este caso, todos los resultados posibles son igualmente probables, ya que suponemos que las monedas son justas y tienen la misma probabilidad de caer cara o cruz. Por lo tanto, para calcular la probabilidad, necesitamos contar los casos favorables (en este caso, solo hay un caso favorable) y dividirlo entre el número total de casos posibles.

Casos favorables: 1 (el caso en el que las tres monedas resulten cara, es decir, CCC)

Casos posibles: 8 (el total de elementos en el espacio muestral)

Por lo tanto, la probabilidad de que las tres monedas resulten cara es:

P(Las tres monedas resulten cara) = 1/8 = 0.125 o 12.5%

La probabilidad es de 0.125 o 12.5%.

Ejercicio.

Para calcular el número de posibilidades en las cuales la suma de los dados sea 6 al lanzar un dado tres veces, podemos utilizar un enfoque sistemático.

Primero, consideremos las posibles combinaciones de resultados al lanzar un dado una vez. Cada lanzamiento del dado puede tener un resultado entre 1 y 6. A continuación, construiremos una tabla para enumerar todas las combinaciones posibles:

| Lanzamiento 1 | Lanzamiento 2 | Lanzamiento 3 |

|--------------|--------------|--------------|

| 1            | 1            | 4            |

| 1            | 2            | 3            |

| 1            | 3            | 2            |

| 1            | 4            | 1            |

| 2            | 1            | 3            |

| 2            | 2            | 2            |

| 2            | 3            | 1            |

| 3            | 1            | 2            |

| 3            | 2            | 1            |

| 4            | 1            | 1            |

Ahora, contamos el número de combinaciones en las cuales la suma de los dados es 6. En este caso, hay 5 combinaciones posibles:

1 + 1 + 4

1 + 2 + 3

1 + 3 + 2

2 + 1 + 3

2 + 2 + 2

Entonces, el número de posibilidades en las cuales la suma de los dados es 6 al lanzar un dado tres veces es 5.

Guía completa del Teorema de Bayes: Una herramienta fundamental para la probabilidad condicional y la toma de decisiones.

 Introducción:

La teoría de la probabilidad desempeña un papel crucial en el análisis de datos y la toma de decisiones en diversos campos, desde la ciencia hasta la inteligencia artificial. En este contexto, el Teorema de Bayes se ha convertido en una herramienta fundamental para calcular la probabilidad condicional y actualizar nuestras creencias en función de nueva evidencia. En este artículo, exploraremos en detalle el Teorema de Bayes y su aplicabilidad en diferentes situaciones.

1. Conceptos básicos de probabilidad:

Antes de adentrarnos en el Teorema de Bayes, es importante repasar los conceptos básicos de probabilidad, como la probabilidad condicional y la regla del producto. Estos conceptos sientan las bases necesarias para comprender y aplicar el Teorema de Bayes de manera efectiva.

2. El Teorema de Bayes:

El Teorema de Bayes establece una relación entre la probabilidad condicional inversa (La probabilidad condicional inversa, también conocida como probabilidad inversa o retrocondicional, se refiere a la probabilidad de un evento anterior dado un evento posterior. En otras palabras, se trata de calcular la probabilidad de que ocurra un evento previo, sabiendo que ya ha ocurrido un evento posterior.

La probabilidad condicional inversa se expresa matemáticamente utilizando el Teorema de Bayes, que establece la relación entre las probabilidades condicionales directas e inversas. La fórmula general del Teorema de Bayes es la siguiente:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Donde:

- P(A|B) es la probabilidad condicional de A dado B (probabilidad inversa).

- P(B|A) es la probabilidad condicional de B dado A (probabilidad directa).

- P(A) y P(B) son las probabilidades marginales de A y B, respectivamente.

Al calcular la probabilidad condicional inversa, utilizamos la información sobre la probabilidad condicional directa y las probabilidades marginales para obtener la probabilidad condicional inversa.

La probabilidad condicional inversa es útil en diversos contextos, como el diagnóstico médico, donde se busca determinar la probabilidad de una enfermedad previa dado un conjunto de síntomas presentes. También se aplica en la resolución de problemas de inferencia estadística y en la toma de decisiones basada en evidencia previa.) y la probabilidad condicional directa (La probabilidad condicional directa se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento A, dado que ya ha ocurrido un evento B. En otras palabras, se trata de calcular la probabilidad de un evento específico, sabiendo que otro evento ya ha sucedido.

La probabilidad condicional directa se representa matemáticamente utilizando la notación P(A|B), donde "A" es el evento de interés y "B" es el evento que ya ha ocurrido. La fórmula para calcular la probabilidad condicional directa es la siguiente:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Donde:

- P(A ∩ B) representa la probabilidad de que ocurran tanto A como B (la intersección de A y B).

- P(B) es la probabilidad de que ocurra el evento B.

La probabilidad condicional directa nos permite ajustar las probabilidades de un evento en función de la información adicional proporcionada por la ocurrencia de otro evento. Es especialmente útil cuando se trabaja con eventos dependientes, donde la probabilidad de un evento está condicionada por la ocurrencia de otro.

Este concepto es ampliamente utilizado en diversas disciplinas, como la estadística, la teoría de juegos, la inteligencia artificial y la toma de decisiones. También es fundamental en el Teorema de Bayes, que relaciona las probabilidades condicionales directas e inversas).

 Nos permite actualizar nuestras creencias o estimaciones iniciales en función de nueva evidencia o datos observados. Exploraremos la formulación matemática del teorema y cómo se aplica en diferentes contextos.

3. Aplicaciones del Teorema de Bayes:

El Teorema de Bayes tiene aplicaciones en una amplia gama de campos. Desde el diagnóstico médico hasta los motores de búsqueda en internet, este teorema proporciona un marco para la toma de decisiones basada en probabilidades actualizadas. Examinaremos ejemplos concretos de aplicación en áreas como la medicina, la ingeniería, la estadística y más.

4. Limitaciones y consideraciones:

Aunque el Teorema de Bayes es una herramienta poderosa, también tiene sus limitaciones y suposiciones. Discutiremos algunas de estas limitaciones y cómo se pueden abordar en diferentes situaciones. También abordaremos consideraciones éticas y de privacidad asociadas con el uso del Teorema de Bayes en el análisis de datos y la toma de decisiones.

5. Futuras direcciones y avances:

Con el rápido avance de la tecnología y el aumento de los datos disponibles, el Teorema de Bayes se vuelve aún más relevante en la era de la inteligencia artificial y el aprendizaje automático. Exploraremos las posibles direcciones futuras y los avances en el uso y la aplicación del Teorema de Bayes en campos emergentes.

Conclusión:

El Teorema de Bayes es una herramienta esencial en el análisis de datos y la toma de decisiones basada en probabilidades. Su capacidad para actualizar nuestras creencias en función de nueva evidencia lo convierte en una herramienta poderosa y versátil. Comprender y aplicar el Teorema de Bayes puede mejorar nuestra capacidad para tomar decisiones informadas y precisas en una amplia gama de escenarios.

Los beneficios de las teorías de Giddens, Castells y Foucault: Claves para comprender los cambios exógenos en tu comunidad

 

En nuestra comunidad familiar, nos vemos constantemente impactados por los cambios exógenos que ocurren a nuestro alrededor. Estos cambios son el resultado de acciones y influencias externas que nos llegan desde diferentes agentes y fuentes. Durante la década de 1995 a 2010, presenciamos la masificación de los teléfonos celulares, y esto tuvo un profundo impacto en nuestra familia. La comunicación entre nosotros se volvió constante, y ahora todos estamos conectados a través de la red social Facebook. Nos enteramos de todo lo que sucede en nuestra pequeña comunidad de 83 personas, ya que nada pasa desapercibido.

Este fenómeno de cambios exógenos está presente en nuestras vidas debido a las acciones llevadas a cabo por agentes externos. Nuestro entendimiento de estos cambios va más allá, pues los vemos como cambios endógenos, resultado de nuestras propias acciones como colectividad. Incluso aquellos miembros mayores que en un principio se mostraban reacios a la tecnología, ahora se han sumado a las redes sociales, formando parte de la élite de nuestra comunidad.

Además de los avances digitales, también experimentamos intercambios físicos de mercancías dentro de nuestra comunidad. Las decisiones de consumo están estrechamente ligadas a nuestra red de relaciones. Por ejemplo, una de nuestras tías produce deliciosos productos panificados y cuenta con un grupo de clientes leales dentro de la comunidad.

Nuestra comunidad abarca un área geográfica amplia, que se extiende desde la Patagonia hasta los Estados Unidos, pasando por diferentes provincias de Argentina. Durante las vacaciones, los miembros de nuestra familia recorren estas distancias, creando una red eficiente que nos permite ayudar a aquellos que están en situaciones desfavorables o resolver dificultades. En momentos difíciles, como la pérdida de mi padre en medio de la crisis social del país en 1999, nuestra comunidad familiar se unió y asumió los gastos del sepelio, demostrando una vez más nuestra solidaridad interna.

Dentro de nuestra comunidad, también vemos cambios de tipo descendente. Estos cambios emergen como resultado de acciones planificadas por élites internas o externas al sistema. Los miembros mayores de 60 años, a quienes consideramos nuestros tíos y tíos abuelos, desempeñan un papel de liderazgo en asuntos de asistencia. Su influencia es aceptada y valorada por el resto de los miembros de la comunidad. Las necesidades de empleo se ofrecen y distribuyen dentro de nuestra comunidad, y todos tienen la oportunidad de expresar sus opiniones y puntos de vista.

En este sentido, los trabajos teóricos de Anthony Giddens, Manuel Castells, Marshall McLuhan, Niklas Luhmann y Michel Foucault cobran relevancia. Sus ideas sobre la estructuración social, la transformación de las sociedades contemporáneas a través de la comunicación en red, el papel de los medios de comunicación, los sistemas sociales y el poder en las estructuras sociales, resuenan en nuestras experiencias y nos ayudan a comprender los cambios y dinámicas que experimentamos.

Para concluir , en nuestra comunidad nos encontramos en constante interacción con los cambios exógenos que nos rodean. Estos cambios, impulsados por fuerzas externas, se convierten en cambios endógenos a medida que los asimilamos y respondemos a ellos como colectividad. A través de la tecnología, los intercambios económicos, las relaciones familiares y los liderazgos internos, nos adaptamos y creamos una comunidad sólida y resiliente. 

Pablo Barreto.

La coerción social y el voto vergonzante, estrategia subversiva.

 

La coerción social se refiere al uso de la presión o influencia social para obligar a las personas a cumplir con ciertas normas, valores o comportamientos esperados por la sociedad en la que viven. Implica una forma de control social ejercido por grupos o instituciones con poder o autoridad sobre los individuos.

La coerción social puede manifestarse de diversas formas, como la imposición de castigos o consecuencias negativas por no cumplir con las expectativas sociales, el ostracismo o exclusión social, la manipulación emocional o psicológica, entre otros métodos. Estas estrategias se utilizan para mantener la conformidad y la cohesión social, asegurando que los individuos se adhieran a las normas y valores establecidos por la sociedad.

Es importante destacar que la coerción social no siempre es negativa o injusta. En algunos casos, puede tener un propósito legítimo, como mantener el orden social, promover la seguridad pública o proteger los derechos y bienestar de los individuos. Sin embargo, también puede ser utilizada de manera abusiva o opresiva, limitando la libertad y autonomía de las personas.

En general, la coerción social juega un papel importante en la conformación de las actitudes y comportamientos individuales, así como en la reproducción de las estructuras sociales y culturales. Sin embargo, también es objeto de debate y crítica, ya que puede socavar la diversidad, la creatividad y la autenticidad de las personas al imponer normas y expectativas rígidas.

El voto vergonzante es una estrategia que algunos individuos pueden emplear durante las elecciones para ocultar sus verdaderas preferencias políticas debido a presiones sociales o culturales. En lugar de expresar abiertamente su elección, estas personas optan por votar de manera discreta o incluso engañosa con el fin de evitar el estigma social o el rechazo.

En ciertos contextos, el voto vergonzante puede considerarse como una forma de subversión o resistencia a la coerción social. Al ocultar su verdadera intención de voto, los individuos desafían las expectativas sociales y ejercen cierto grado de autonomía frente a la presión que ejerce la sociedad.

Sin embargo, es importante destacar que el voto vergonzante no necesariamente representa una subversión total de la coerción social, ya que sigue siendo una respuesta a la presión social y cultural existente. Aunque puede indicar una cierta resistencia individual, no tiene un impacto directo en cambiar las estructuras sociales o desafiar las normas establecidas.

En última instancia, el voto vergonzante refleja la complejidad de las dinámicas sociales y las tensiones entre la expresión individual y la conformidad social. Es una estrategia que surge como respuesta a la coerción social, pero también puede perpetuar la perpetuación de las normas y expectativas que generan dicha presión.

Pablo Barreto