Los errores comunes en el teorema de Bayes y cómo evitarlos.

 El teorema de Bayes es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad que nos permite actualizar nuestras creencias o probabilidades iniciales basadas en nueva evidencia o información observada. El teorema establece una relación entre las probabilidades condicionales, es decir, la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ha ocurrido un evento B

El teorema de Bayes se puede enunciar de la siguiente manera:

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Donde:

- P(A|B) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido el evento B.

- P(B|A) es la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ha ocurrido el evento A.

- P(A) es la probabilidad inicial de que ocurra el evento A.

- P(B) es la probabilidad de que ocurra el evento B.

El teorema de Bayes nos permite actualizar nuestra probabilidad inicial P(A) a la probabilidad posterior P(A|B) utilizando la información proporcionada por P(B|A) y P(B).

En resumen, el teorema de Bayes nos proporciona un método para ajustar nuestras creencias o probabilidades iniciales a medida que obtenemos nueva evidencia o información. Es ampliamente utilizado en estadística, machine learning, inteligencia artificial y otras áreas donde se requiere la inferencia probabilística.

Ejemplos.

Un automovilista hace recargar la batería de su vehículo y pide que le efectúen una carga lenta. Dicho automovilista admite que, a pesar de su pedido, es posible que le efectúen una carga rápida, asignándole a este hecho una probabilidad del 20%. Su experiencia le indica que si la carga es lenta, la batería dura más de un año con probabilidad 0.9. Si la carga es rápida, en cambio, esta probabilidad se reduce al 40%. Si la batería falla antes del año, ¿Cuál es la probabilidad que la carga haya sido rápida?

solucion.

Para calcular la probabilidad de que la carga haya sido rápida dado que la batería falla antes de un año, podemos utilizar el teorema de Bayes. Primero, establezcamos las probabilidades y la información dada:

P(Carga rápida) = 0.2 (probabilidad de que se realice una recarga rápida)

P(Carga lenta) = 0.8 (probabilidad de que se realice una recarga lenta)

P(Falla antes de un año | Carga lenta) = 0.9 (probabilidad de que la batería falle antes de un año dado que se realizó una recarga lenta)

P(Falla antes de un año | Carga rápida) = 0.4 (probabilidad de que la batería falle antes de un año dado que se realizó una recarga rápida)

Queremos calcular P(Carga rápida | Falla antes de un año), es decir, la probabilidad de que la carga haya sido rápida dado que la batería falla antes de un año.

Aplicando el teorema de Bayes, la fórmula se expresa de la siguiente manera:

P(Carga rápida | Falla antes de un año) = [P(Falla antes de un año | Carga rápida) * P(Carga rápida)] / P(Falla antes de un año)

Para calcular P(Falla antes de un año), debemos considerar los casos en los que la batería falla antes de un año, tanto con carga rápida como con carga lenta:

P(Falla antes de un año) = P(Falla antes de un año | Carga lenta) * P(Carga lenta) + P(Falla antes de un año | Carga rápida) * P(Carga rápida)

P(Falla antes de un año) = 0.9 * 0.8 + 0.4 * 0.2

Luego, sustituimos estos valores en la fórmula del teorema de Bayes:

P(Carga rápida | Falla antes de un año) = [0.4 * 0.2] / [0.9 * 0.8 + 0.4 * 0.2]

Realizando los cálculos:

P(Carga rápida | Falla antes de un año) = 0.08 / 0.76

Por lo tanto, la probabilidad de que la carga haya sido rápida dado que la batería falla antes de un año es de aproximadamente 0.1053 o 10.53%.

Ejercicio  

Para calcular la probabilidad de que la máquina seleccionada sea la que hay que calibrar, utilizaremos el teorema de Bayes. Primero, establezcamos las probabilidades y la información dada:

P(Defectuoso | Máquina normal) = 0.02 (probabilidad de que un artículo sea defectuoso en una máquina normal)

P(Defectuoso | Máquina a calibrar) = 0.05 (probabilidad de que un artículo sea defectuoso en la máquina a calibrar)

P(Máquina normal) = 4/5 (probabilidad de seleccionar una máquina normal, dado que hay 5 máquinas en total)

P(Máquina a calibrar) = 1/5 (probabilidad de seleccionar la máquina a calibrar, dado que hay 5 máquinas en total)

Queremos calcular P(Máquina a calibrar | 17° artículo defectuoso), es decir, la probabilidad de que la máquina seleccionada sea la que hay que calibrar, dado que el primer artículo defectuoso es el 17°.

Aplicando el teorema de Bayes, la fórmula se expresa de la siguiente manera:

P(Máquina a calibrar | 17° artículo defectuoso) = [P(17° artículo defectuoso | Máquina a calibrar) * P(Máquina a calibrar)] / P(17° artículo defectuoso)

Para calcular P(17° artículo defectuoso), debemos considerar los casos en los que el 17° artículo es defectuoso, tanto en una máquina normal como en la máquina a calibrar:

P(17° artículo defectuoso) = P(17° artículo defectuoso | Máquina normal) * P(Máquina normal) + P(17° artículo defectuoso | Máquina a calibrar) * P(Máquina a calibrar)

P(17° artículo defectuoso) = 0.02 * (4/5) + 0.05 * (1/5)

Luego, sustituimos estos valores en la fórmula del teorema de Bayes:

P(Máquina a calibrar | 17° artículo defectuoso) = [0.05 * (1/5)] / [0.02 * (4/5) + 0.05 * (1/5)]

Realizando los cálculos:

P(Máquina a calibrar | 17° artículo defectuoso) ≈ 0.0667

Por lo tanto, la probabilidad de que la máquina seleccionada sea la que hay que calibrar, dado que el primer artículo defectuoso es el 17°, es aproximadamente 0.0667 o 6.67%.

Ejercicio.

Para calcular la probabilidad de que el alunizaje haya sido satisfactorio dado que el sistema monitor indica que fue satisfactorio, utilizaremos el teorema de Bayes. Primero, establezcamos las probabilidades y la información dada:

P(Alunizaje satisfactorio) = 0.8 (probabilidad de un alunizaje satisfactorio)

P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje satisfactorio) = 0.9 (probabilidad de que el sistema monitor indique un alunizaje satisfactorio dado que el alunizaje es satisfactorio)

P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje no satisfactorio) = 0.9 (probabilidad de que el sistema monitor indique un alunizaje satisfactorio dado que el alunizaje no es satisfactorio)

Queremos calcular P(Alunizaje satisfactorio | Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio), es decir, la probabilidad de que el alunizaje haya sido satisfactorio dado que el sistema monitor indica que fue satisfactorio.

Aplicando el teorema de Bayes, la fórmula se expresa de la siguiente manera:

P(Alunizaje satisfactorio | Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = [P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje satisfactorio) * P(Alunizaje satisfactorio)] / P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio)

Para calcular P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio), debemos considerar los casos en los que el sistema monitor indique un alunizaje satisfactorio, tanto en un alunizaje satisfactorio como en un alunizaje no satisfactorio:

P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje satisfactorio) * P(Alunizaje satisfactorio) + P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio | Alunizaje no satisfactorio) * P(Alunizaje no satisfactorio)

P(Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = 0.9 * 0.8 + 0.9 * 0.2

Luego, sustituimos estos valores en la fórmula del teorema de Bayes:

P(Alunizaje satisfactorio | Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = [0.9 * 0.8] / [0.9 * 0.8 + 0.9 * 0.2]

Realizando los cálculos:

P(Alunizaje satisfactorio | Sistema monitor indica alunizaje satisfactorio) = 0.72 / 0.9

Por lo tanto, la probabilidad de que el alunizaje haya sido satisfactorio, dado que el sistema monitor indica que fue satisfactorio, es aproximadamente 0.8 o 80%.